找钱原理
打麻将的数学冷知识终於要出第三集，在打麻将的数学冷知识（一）我们提醒大家，骰位抓牌时每叠牌被四家拿到的机率并不相同，要留意游戏的不对称性；在打麻将的数学冷知识（二）一眼就知道胡牌了没，我们看到快速判断胡牌了没有的方法。这回我们要来谈谈打麻将时另一个困扰──找钱。

打牌会伴随着赌注，有经验的场主通常得多准备一些零钱，避免有找不开的情况发生。零钱很多当然就不会遇到找钱麻烦，但是，到底「最少需要多少零钱才够用呢？」就是一道有趣的数学谜题。

首先，我们要先给个合理的数学建模，有3条规则：

找不开可以跟其他家换钱（若不能跟其他家换的话，就没什麽好谈的了，当零钱持续集中到某个人身上时，其他人就一定很难找的开。因此这个假设是合理的）
不能欠，每把输赢一定要立刻结算（若能欠的话，也没什麽好谈的，就一直欠即可。因此这个假设也是合理）
每位玩家有足够的钱（不够钱，就不是找不找得开的问题了）
我们先看单纯一点的情况，只允许使用50元硬币与10元硬币支付赌注（也就是没有百元钞和千元钞），此时，涉及找钱的零钱就只有10元硬币。

两人找钱引理：两个人身上共有4个10元硬币的话，一定找的开

举例来说，甲和乙有很多50元硬币，甲有1个10元，乙有3个10元（两人身上10元硬币共4个），此时甲不管是要付给乙10元、20元、30元、40元、50元、60元……都可以找的开。相反地，乙要付给甲多少钱也都没有找钱的麻烦。同样的道理，两人各有2个10元硬币也不会有困难，这题留给读者动动脑。

麻将找钱定理：四个人身上共有12个10元硬币的话，一定找的开

这个要用广义鸽笼原理来证明。

现在甲、乙、丙、丁四人，假设甲、乙两人有输赢，我们先把四人分成三个笼子，10元硬币当作鸽子：

第一个笼子有「甲乙两人的10元硬币」
第二个笼子有「丙的10元硬币」
第三个笼子有「丁的10元硬币」
最糟糕不能找开的情况，就是甲乙两人自己找不开，丙跟丁两人又没有足够硬币可以换；亦即，第一个笼子只有3个10元，第二、三个笼子都只有4个10元，共11个10元，所以此时只要再生出1个硬币，变成12个，就能保证「甲乙两人共有4个10元以上，不然的话丙丁会有人有5个10元」，若前者发生，就用「两人找钱」引理解决，若後者发生，就跟有5个10元的人换钱即可。

读者可能会好奇「如果是自摸的话，四个人都牵涉到钱的变动怎麽办？」其实，就先解决两个人（把有问题的人都解决掉，就没有问题了）的问题，反正四人拥有的10元硬币总数也不会减少，不管解决两人问题之後，零钱变成何种分布，总共还是有12个硬币，因此，其他人的结算依然能够找开。

把这个定理推广到两种面额但更多人的一般情况：

两种面额多人找钱定理：

有n个人，只能使用面额a与b的话，其中b是a的某个倍数b=ka，这里都考虑正整数。则所有人身上总共有（n-1）（k-1）个a，必定能找开。

更多面额的话，就分开算即可。以四人为例，若允许使用10元、100元跟500元（没有50元），那就是套用10元和100元两种面额找钱定理，再套用100元和500元两种面额找钱定理，得知需要27个10元，与12张100元，其他都用500元，这样还是都能找开。

一般来说，以台币为例，面额1、5、10、50、100、500、1000都允许使用的话，场主只要准备1元、10元、100元各12个（张），5、50、500元各3个（张），其余的都拿1000元的大钞，就能找开所有的钱了。

其它麻将冷知识
为何海底要留8叠牌？
若所有海底的牌都使用的话，至少会产生以下两个问题：

打到最後几张时，记忆力极好的玩家，可以根据已出现的牌推算剩下的有哪些牌。
独听某一张的人，等到最後一定会胡，（例如已经拿了7张花的人，到最後一定可以胡），可能导致人人都想做大牌，单吊、胡牌机率小没关系，听的牌最终还是会现身。
为了避免上述问题，刻意有一小部份的牌不使用，以增加不确定性。许多游戏都有类似的安排，例如：双人大老二。

至於留几张牌呢？一般作法是留约一个玩家的量，因为每个人一开始都是抓16张牌，所以海底就留一个人拿的牌数，留16张。换句话说，等於有5个人在打牌，海底也算一个人。当有人杠牌时，相对的，其它的牌就会容易聚集，所以就当作第5人也杠一张，所以就变成了留17张牌（多一张）在海底。

当然，还是那句话，不管规则怎麽订，大家都是相对公平的，没有玩花牌的人，就改成留14张；或是有些人玩「铁八」、「铁七」等留固定张数的规则。只要事先讲好，都是相对公平的。

会不会有一副牌型同时平胡又碰碰胡呢？
这是一个有趣的问题。平胡又碰碰胡，从来没听过，应该不可能吧？！别急着下结论，先来看看这个例子：

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图片来源：作者提供
牌型为碰碰胡，但把三组「234」拿出来重新排列後变成：

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图片来源：作者提供
就可以算成平胡牌型了，不是吗？

答案是，也不是。因为这副牌只有11张，其他张数未必办得到。

有兴趣的读者且看以下说明，把所有的牌，分成一四七、二五八、三六九，共三堆，复习一下<打麻将的数学冷知识（二）一眼就知道胡牌了没>说过的快速判断眼睛法则：

一副牌依一四七、二五八、三六九分成三堆，每堆的张数除以3的余数必有一个与另两个不同，则眼睛就在不同的那堆里。

根据上述原理可以知道眼睛会在哪一堆，把眼睛拿掉後，若是平胡则剩下都是「顺」，必定三堆数量一样多张，同时又要是碰碰胡的话，每一堆都必须为3的倍数才能凑成「刻」，因此，搭子数必定要是3的倍数才能够分成一样多的三堆。不论玩的是16张麻将（5个搭子），或是13张麻将（4个搭子），三堆必无法一样多，因此，结论是无法同时碰碰胡又平胡的。

结语
打麻将的数学冷知识系列文章用了很多数学的角度来看麻将，相信读者一定会觉得，对於自己麻将的技术的提升非（ㄨㄢˊ）常（ㄑㄩㄢˊ）有（ㄇㄟˊ）用。打麻将除了具备基本牌技之外，剩下就靠运气左右输赢，不必太在意胜败，开心就好，好好享受打牌的过程。其实受民众欢迎的桌游设计，运气成份通常占有很大的比例，想想这也挺自然的，若能够使用数学理论达成「必胜」的话，反而就没人想玩了。

一系列文章的主要目的是要告诉大家，数学处处都有，问题在於如何去发现它。从中小学的基本数学，到大学的高等数学，很多都可以运用到生活中，虽然没有数学，还是一样能过生活，但有了它的辅助，可以让生活过得更「理性」哦。